Isometrías en la vida cotidiana

A lo largo de todas las entradas del blog, se ha hecho énfasis en las múltiples aplicaciones de las transformaciones isométricas en la vida cotidiana.

Si bien, cada vez que observamos a nuestro alrededor nos encontramos con un edificio, una casa, árboles, insectos y animales. Nunca analizamos con mayor exactitud su estructura o su imagen. Si así lo hiciéramos, nos daríamos cuenta de que en cada uno de ellos y en cada cosa que nos rodea incluso en la misma naturaleza, existe la Isometría, de una u otra forma. Un edificio tiene que tener una reflexión con respecto a si mismo, al igual que una fruta, si la cortamos por la mitad, nos encontramos con que ambas partes son simétricamente iguales, al momento de observar una flor nos encontramos con una perfecta rotación o teselado de sus pétalos con respecto a su centro, y así con muchos otros ejemplos de nuestro cotidiano vivir (fuente: Isometría en el mundo cotidiano).

Es importante establecer similitudes entre lo que estamos estudiando y el entorno que nos rodea para así enriquecer nuestro conocimiento y relacionar nuestro aprendizaje escolar con aquel aprendizaje cotidiano, del día a día. Es por esto que te invito desde ahora, sea donde sea que vayas: al parque, al colegio, a la casa de algún amigo o a un parque de diversiones, apreciar la belleza de mosaicos en algunas estaciones de metro o en murales de Universidades, que mires a tu alrededor con mayor determinación y puedas encontrar tu mism@ ciertas isometrías presentes, verlas en vivo y en directo y asimilarlas como tales.

En este mismo contexto, es que a continuación se muestra un video que expone cómo podemos encontrar las isometrías en la vida diaria. Mira el video, para que luego respondas en esta entrada, la Actividad Nº 9  ¿Qué transformaciones isométricas lograste identificar?

 

Teselaciones

Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, ropas,... También muchos artistas han utilizado teselaciones en su trabajo: M.C. Escher es, probablemente, el más famoso de todos ellos. El artista holandés se divirtió teselando el plano con figuras de intrincadas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales... Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. Los matemáticos y en particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales. 

Algunas teselaciones importantes 

Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular. Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: la malla de triángulos equiláteros, el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez y la configuración hexagonal, como la de los paneles.

El embaldosado con Transformaciones Isométricas 

La simple observación y análisis de embaldosados, nos permite comprobar que estos se construyen sobre la base de transformaciones isométricas, como en los siguientes ejemplos:

(Fuente: Profesor en línea)

El siguiente recurso es un prezi que expone la aplicación de las transformaciones isométricas en las teselaciones, creando innumerables obras de arte que de seguro haz apreciado en más de una ocasión por medio de mosaicos, cerámicas o baldosas. ¡Pon mucha atención!

 

Puedes profundizar acerca de las teselaciones y los tipos que existen, leyendo el siguiente artículo.

Rotación

¿Haz notado el movimiento que realizan las manecillas de un reloj, las ruedas de una bicicleta al andar o un ventilador de aspas? Todos esos movimientos son modelados por una transformación isométrica llamada rotación. Una rotación, por ser transformación isométrica, no modifica el tamaño ni la forma de una objeto, si no más bien cambia su orientación y posición, considerando un: centro de rotación, ángulo de giro y sentido, que puede ser positivo (en contra las manecillas del reloj) o negativo (a favor de las manecillas del reloj).

Es importante que recuerdes ¿qué es un ángulo? para comprender esta transformación isométrica, ya que es parte fundamental en la construcción o identificación de las rotaciones.

A continuación se expone una presentación powepoint en slideshare que incluye contenidos, ejemplos y actividades relacionadas con la rotación de figuras, en donde tendrás la posibilidad de observar giros con ángulos conocidos, ya sea de puntos o figuras y la propiedad que se aplica en el plano cartesiano.

 

Luego de visualizar el PPT de rotación, puedes practicar con la Actividad Nº7 y Actividad Nº8
Ver soluciones aquí (7) y (8).


Un ejemplo de rotación
Movimiento de la Tierra: el día

Cada 24 horas (23h 56 minutos), la Tierra da una vuelta completa alrededor de un eje ideal que pasa por los polos. Gira en dirección Oeste-Este, en sentido directo (contrario al de las agujas del reloj), produciendo la impresión de que es el cielo el que gira alrededor de nuestro planeta.

A este movimiento, denominado rotación, se debe la sucesión de días y noches, siendo de día el tiempo en que nuestro horizonte aparece iluminado por el Sol, y de noche cuando el horizonte permanece oculto a los rayos solares. La mitad del globo terrestre quedará iluminada, en dicha mitad es de día mientras que en el lado oscuro es de noche. En su movimiento de rotación, los distintos continentes pasan del día a la noche y de la noche al día. (fuente: AstroMía)

  

Practica la simetría

En la entrada anterior se expuso el concepto de simetría y reflexión, junto con algunas propiedades, ejemplos que podemos observar en la vida cotidiana, ejercicios de figuras simétricas y reflexión en el plano cartesiano. Con la finalidad de aplicar los conocimientos adquiridos sobre dicha transformación isométrica, es que dejo el link a un interesante recurso de la página yo estudio, que lleva por nombre Armonía y Simetría. Este recurso muestra con un simple ejemplo lo que significa la simetría, además tiene diversas actividades como:

• reconocer la reflexión en diversas figuras.
• identificar los ejes de simetría presentes en figuras geométricas
• reflejar figuras a través de un eje de simetría
• identificar ejes de simetría en paralelógramos
• identificar ejes de simetría en banderas de distintos países

Lo mejor es que puedes verificar instantáneamente si tus respuestas son correctas o no. A continuación algunas imágenes del recurso:

Para utilizar el recurso, ingresa aquí --> Link Armonía y simetría 

(debes crearte una cuenta en www.yoestudio.cl para poder visualizar las actividades)

Simetría y reflexión

¿Que ves cuando reflejas algo en un espejo? Aunque no lo creas ese simple reflejo está relacionado con una de las transformaciones isométricas, que es la reflexión y que no solo se refiere a los reflejos en el espejo, sino que también a la característica de ciertas figuras que son simétricas, por ejemplo:

En la imagen se puede observar una mariposa y se ha trazado una línea por el centro de esta, que la divide en dos partes iguales. Dicha línea recibe el nombre de "eje de simetría" y en la similitud hecha anteriormente, actúa como espejo definiendo así los sectores iguales que se muestran "reflejados". Esta simetría puede ser mucho más espectacular si nos fijamos en otros fenómenos de la Naturaleza. Las telas de araña y las celdas hexagonales de los panales de las abejas son buenos ejemplos. En Geología, la simetría es tan perfecta que da lugar a un tipo de clasificación mediante el cual se reconocen los minerales: la Cristalografía. La simetría de un mineral cristalizado (por ejemplo los cristales de sal de cocina cuando los vemos al microscopio) refleja la ordenación simétrica de los átomos en su interior. También muchas de las obras del ser humano (muebles, casas, puentes, coches...) son simétricas. Es divertido buscar su simetría y preguntarnos por qué las hacemos simétricas. (Fuente: Cosmoeduca)

Aquí algunos ejemplos:

  

El concepto matemático de simetría es la correspondencia exacta (un reflejo) en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje de simetría) o un plano. Definido o conocido el concepto de simetría, podemos agregar que hay distintos tipos de simetría, sin embargo nos enfocaremos en la simetría axial o reflexión. 

Simetría axial 

La simetría axial o reflexión, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones: 

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma. 

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría. 

(Fuente: Profesor en línea)

Observa el siguiente PPT sobre reflexión y trabaja en las actividades propuestas:

 

Puedes practicar la simetría y reflexión en la Actividad Nº 5 y Actividad Nº 6
Ver respuestas aquí: (5) y (6).

Traslación

¿Haz notado el movimiento del metro al llegar a una estación?, o ¿el movimiento de un ascensor al subir o bajar de un piso a otro?. Ambos movimientos son modelados por una transformación isométrica que se llama traslación. Como lo expliqué en la entrada anterior, las transformaciones isométricas no cambian forma ni tamaño del objeto transformado, solo la posición, orientación o sentido de él. En este caso, las traslaciones solo modifican la posición de un objeto, por medio de el llamado "vector de traslación" en el plano cartesiano.


Vectores en el plano cartesiano

Un vector es una herramienta geométrica que en el plano cartesiano generará una transformación que podrá mover objetos dentro de él hacia otros lugares geométricos de éste. Los vectores actúan sobre figuras o puntos, moviéndolos según las coordenadas que éste tenga. El vector considera tres elementos: módulo, sentido y orientación. Por ejemplo, para aplicar el vector traslación (-2,-4) sobre el punto K(4,5), debemos seguir el siguiente procedimiento: Nos ubicamos en el punto al que aplicaremos el vector traslación. Avanzamos en un movimiento horizontal la cantidad de veces que indica la primera coordenada, hacia la derecha si la primera coordenada “x” es positiva o hacia a la izquierda si la coordenada “x” es negativa. Luego, avanzamos en movimiento vertical la cantidad de veces que indica la segunda coordenada, hacia arriba si la segunda coordenada es positiva o hacia abajo si la segunda coordenada es negativa. Entonces si aplicamos el vector traslación de (-2,-4) al punto K (4,5), el nuevo punto quedará ubicado en M (2,1):

(Fuente: Escolares.net)

A continuación les presento un material sobre traslaciones en el plano cartesiano, que incluye propiedades, ejemplos y ejercicios propuestos.

Luego de observar el PPT, puedes practicar la traslación desarrollando la Actividad Nº3 y Actividad Nº 4.

Ver soluciones aquí: (3) y (4).

Isometrías y el plano cartesiano

Para poder entender mejor el tema que trataremos en este blog, es absolutamente necesario comprender lo que significa una transformación isométrica. Como ya debes saber, transformación significa cambio o modificación, pero ¿qué significa isometría?

La palabra isometría proviene del griego iso (prefijo que significa igual o mismo) y metría (que significa medir). Por ello, una definición adecuada para isometría sería igual medida. En consecuencia, transformaremos puntos o figuras pero sin cambiar sus medidas ¿cómo será eso posible? Observa la siguiente imagen:

Las transformaciones isométricas son estudiadas en 5º, 8º básico y 1º medio en las respectivas unidades de geometría de la asignatura de matemática y para esto se utiliza como base el plano cartesiano, ya que es allí donde se realizarán dichas transformaciones, por lo tanto debes recordar…

¿Qué es el plano cartesiano? 

El plano cartesiano es un sistema de coordenadas formado por dos rectas numéricas que se intersectan perpendicularmente, dividiendo el plano en cuatro cuadrantes. El eje horizontal recibe el nombre de eje X o de las abscisas. El eje vertical recibe el nombre de eje Y o de las ordenadas. El punto de intersección de los ejes recibe el nombre de origen O(0, 0). En el punto (x, y), x (primera coordenada) corresponde a los valores de las abscisas e y (segunda coordenada) al de las ordenadas. Para representar una figura en el plano cartesiano se ubican en él las coordenadas de sus vértices. En el caso de un segmento pueden ubicarse las coordenadas de sus puntos extremos. En el caso de figuras, pueden ubicarse sus vértices.

Puedes practicar la ubicación de puntos en el plano cartesiano en la Actividad Nº1 y en la Actividad Nº2.

Ver soluciones aquí (1) y (2).